数学建模-Matlab学习笔记（五）

本文最后更新于：December 3, 2021 pm

MATLAB（矩阵实验室）是第四代高层次的编程语言和交互式环境数值计算，可视化和编程。由美国MathWorks公司开发的一种编程语言。用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。拥有众多的内置命令和数学函数，可以帮助您在数学计算，绘图和执行数值计算方法。

目录

1.运算符

1.1 算术运算符

允许两种不同类型的算术运算：矩阵算术运算、阵列算术运算。
矩阵的算术运算与线性代数中的定义相同。矩阵运算符和数组运算符是有区别的。然而，由于加法和减法运算矩阵和阵列是相同的，操作这两种情况下是相同的。

运算符 描述
+ 加法或一元加号。A + B将A和B。 A和B必须具有相同的尺寸，除非一个人是一个标量。一个标量，可以被添加到任何大小的矩阵。
- 减法或一元减号。A - B，减去B从A和B必须具有相同的大小，除非是一个标量。可以从任意大小的矩阵中减去一个标量。
***** 矩阵乘法；是一个更精确的矩阵A和B的线性代数积，矩阵乘法对于非纯量A和B，列一个数必须等于B.标量可以乘以一个任意大小的矩阵的行数。
.* 数组的乘法；A.*B是数组A和B的元素积，A和B必须具有相同的大小，除非A、B中有一个是标量。
/ 斜线或矩阵右除法；B/A与B * inv（A）大致相同。更确切地说： B/A = (A’B’)’
./ 矩阵右除法；矩阵A与矩阵B相应元素相除（A、B为同纬度的矩阵）
**.\** 反斜杠或矩阵左除；如果A是一个方阵，AB是大致相同的INV（A）* B，除非它是以不同的方式计算。如果A是一个n*n的矩阵，B是一个n组成的列向量，或是由若干这样的列的矩阵，则X = AB 是方程 AX = B ，如果A严重缩小或者几乎为单数，则显示警告消息。
. 数组左除法；A. B是元素B（i，j）/A（i，j）的矩阵。A和B必须具有相同的大小，除非其中一个是标量。
^ 矩阵的幂。X^P是X到幂P，如果p是标量；如果p是一个整数，则通过重复平方计算功率。如果整数为负数，X首先反转。对P值的计算，涉及到特征值和特征向量，即如果[ D ] = V，EIG（x），那么X^P = V * D.^P / V。
.^ A.^B：A的每个元素的B次幂（A、B为同纬度的矩阵）
‘ 矩阵的转置；A’是复数矩阵A的线性代数转置，这是复共轭转置。
.’ 数组的转置；A’是数组A的转置，对于复数矩阵，这不涉及共轭。

1.1.1 算术运算函数

函数 描述
uplus(a) 一元加号；增加量a
plus (a,b) 相加；返回 a + b
uminus(a) 一元减号；减少a
minus(a, b) 相减；返回 a - b
times(a, b) 数组相乘；返回 a.*b
mtimes(a, b) 矩阵相乘；返回 a* b
rdivide(a, b) 右阵划分；返回 a ./ b
ldivide(a, b) 左阵划分；返回 a. b
mrdivide(A, B) 求解线性方程组xA = B for x
mldivide(A, B) 求解线性方程组xA = B for x
power(a, b) 数组求幂；返回 a.^b
mpower(a, b) 矩阵求幂；返回 a ^ b
cumprod(A) 累积乘积；返回与包含累积乘积的数组A相同大小的数组。如果A是向量，则cumprod（A）返回一个包含A的元素的累积乘积的向量。如果A是矩阵，则cumprod（A）返回一个矩阵，其中包含A的每一列的累积乘积。如果A是一个多维数组，那么cumprod（A）将沿着第一个非正整数维。
cumprod(A, dim) 沿维 dim 返回返回累积乘积。
cumsum(A) 累加总和；返回包含累积和的数组A如果A是向量，则cumsum（A）返回一个包含A的元素的累积和的向量。如果A是矩阵，则cumsum（A）返回一个矩阵，其中包含A的每列的累积和。如果A是一个多维数组，那么cumsum（A）将沿着第一个非整数维度起作用。
cumsum(A, dim) 返回沿着dim的元素的累积和。
diff(X) 差分和近似导数；计算x相邻元素之间的差异。如果X是向量，则diff（X）返回相邻元素之间的差异的向量，比X短一个元素：[X（2）-X（1）X（3）-X（2）… X（N）-X（N-1）]如果X是一个矩阵，则diff（X）返回行差的矩阵：[X（2：m，…）-X（1：m-1，:)]
diff(X,n) 递归应用n次，导致第n个差异。
diff(X,n,dim) 它是沿标量dim指定的维数计算的第n个差分函数。 如果order n等于或超过Dim的长度，diff将返回一个空数组。
prod(A) 数组元素的乘积；返回A数组元素的乘积。如果A是向量，则prod（A）返回元素的乘积。如果A是非空矩阵，则prod（A）将A的列作为向量，并返回每列乘积的行向量。如果A是一个空的0-by-0矩阵，则prod（A）返回1。如果A是一个多维数组，那么prod（A）将沿着第一个非子集维度行为并返回一个乘积数组。 该维数的尺寸减小到1，而所有其他维数的尺寸保持不变。如果输入A为单个，则prod函数计算并返回B为单个；对于所有其他数字和逻辑数据类型，prod函数计算并返回B为double。
prod(A,dim) 沿dim维度返回乘积。 例如，如果A是矩阵，则prod（A，2）是包含每一行的乘积的列向量。
prod(__,datatype) 在数据类型指定的类中乘以并返回一个数组。
sum(A) 数组元素的总和；返回数组的不同维度的和。如果A是浮动的，那么是双倍或单个，B是本地累加的，它与A相同，B与A具有相同的类。如果A不是浮动的，则B被累加为双，B具有类double。如果A是向量，则sum（A）返回元素的总和。如果A是矩阵，则sum（A）将A的列作为向量，返回每列的和的行向量。如果A是一个多维数组，sum（A）将沿着第一个非单例维度的值作为向量来处理，返回一个行向量的数组。
sum(A,dim) 沿标量A的维度求和。
sum(..., 'double')sum(..., dim,'double') 执行双精度加法，并返回double类型的答案，即使A具有数据类型单一或整型数据类型。这是整型数据类型的默认值。
sum(..., 'native')sum(..., dim,'native') 在本机数据类型A中执行添加，并返回相同数据类型的答案。 这是单和双的默认值。
ceil(A) 向正无穷方向舍入；将a元素舍入为大于或等于A的最近整数。
fix(A) 舍入为零
floor(A) 向负无穷方向舍入；将a元素舍入为小于或等于a的最近整数。
idivide(a, b)idivide(a, b,'fix') 整数除法的舍入选项；与A./B相同，只是分数的商向零舍入到最接近的整数。
idivide(a, b, 'round') 分数的商舍入到最近的整数。
idivide(A, B, 'floor') 分数商向负无穷大舍入到最接近的整数。
idivide(A, B, 'ceil') 分数商向无穷大舍入到最接近的整数。
mod (X,Y) 除法后的模数；返回X - n.* Y，其中 n = floor（X./Y）。 如果Y不是整数，并且商X / Y在整数的舍入误差内，则n是整数。 输入X和Y必须是相同大小的真实数组或实数标量（提供Y〜= 0）。请注意：mod(X,0) 是 Xmod(X,X) 是 0对于 X ＝ Y 和 Y ＝ 0的 mod(X，Y)具有与Y相同的符号。
rem (X,Y) 除法之后的余数；返回X - n.* Y，其中n = fix（X./Y）。 如果Y不是整数，并且商X / Y在整数的舍入误差内，则n是整数。 输入X和Y必须是相同大小的真实数组或实数标量（提供Y〜= 0）。请记住：rem(X,0) 是 NaNX〜= 0的rem（X，X）为0对于 X=Y 和 Y=0 的rem（X，Y）与X具有相同的符号。
round(X) 舍入到最接近的整数; 将X的元素舍入到最接近的整数。 正数元素的小数部分为0.5，最大到最接近的正整数。 负数元素的小数部分为-0.5，向下舍入到最接近的负整数。

1.1.2 基本算术运算

包括：加（+）、减（-）、乘（*）、右除（/）、左除（\）、乘方（^）。

  1. 加减运算
  • 若两个矩阵同型，则运算时两矩阵的对应元素相加减。若不同型，则会报错。
  • 一个标量也可以和矩阵进行加减运算，这时把标量和矩阵的每一个元素进行加减运算。
  1. 乘法运算
  • 矩阵A和B进行乘法运算，要求A的列数与B的行数相等，此时称A、B矩阵是可乘的，或称A和B两矩阵维数和大小相容。如果两者的维数或大小不相容，则会提示错误。

一个矩阵的乘方运算可以表示成 A^x，要求 A 为方阵，x 为标量。如：

1
2
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
a^2
  1. 除法运算
  • 如果A矩阵是非奇异方阵，则B/A等效于 B*inv(A)，A\B等效于inv(a)*B。其中inv(A)表示A的逆。

对于矩阵来说，右除和左除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵关系。即两个矩阵做运算时，右除和左除的结果不同；一个矩阵和一个数做运算时，结果相同；两个数做运算时，结果相同。

  1. 点运算

点运算符包括：.*、./、.\、.^ 。
两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵同型。

1.2 逻辑运算符

逻辑运算都是针对元素的操作，运算结果是特殊的逻辑数组；在逻辑分析时，逻辑（真）用1表示，逻辑假用0表示，逻辑运算中所有的非零元素作为1处理。

包括：与(&)、或(|)、非(~)。

  1. 参与逻辑运算的是两个标量a和b。

a&b：a、b全为非零时，运算结果为1，否则为0。
a|b：a、b中只要有一个非零时，运算结果为1。
~a：当a为零时，运算结果为1；当a为非零时，运算结果为0。

  • 若参与逻辑运算的是两个同型矩阵，那么将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行运算，最终运算结果是一个与原矩阵同型的矩阵，其元素由1或0组成。
  • 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行运算，最终运算结果是一个与原矩阵同型的矩阵，其元素由1或0组成。

1.3 关系运算符

包括：小于(<)、小于或等于(<=)、大于(>)、大于或等于(>=)、等于(==)、不等于(~=)。

  • 当参与比较的量是两个同型的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，最终的关系运算的结果是一个与原矩阵同型的矩阵，元素由 0 或 1 组成。
  • 当参与比较的一个是标量，而另外一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运行运算规则逐个比较，最终的关系运算的结果是一个与原矩阵同型的矩阵，元素由 0 或 1 组成。

2.字符串

2.1 字符串的访问

1
2
3
4
xm='LoongOne';
xm(1:3)

Loo

2.2 字符串的表示

字符串包含在单引号中，若字符串中的字符含有单引号，则该单引号字符要用两个单引号来表示。

1
2
3
xm='i''m a student'

i'm a student

2.3 字符串矩阵

1
2
3
4
5
ch=['abcd';'1233'];
ch(2,3)

ans =
	3

2.4 字符串执行

eval(S) 将字符串中的内容作为 matlab 命令来执行。

1
2
3
4
5
6
t=pi;
m='[t,sin(t),cos(t)]';
y=eval(m)

y =
	3.1416	0.0000	-1.0000

2.5 字符串与数值之间的转换

  • abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。
  • char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。

2.6 字符串的比较

有两种方法：利用关系运算符或字符串比较函数。

  • 关系运算符比较：两个字符串里的每个字符依次按ASCII值大小逐个进行比较，比较的结果是一个数值向量，向量中的元素要么是1，要么是0.

  • 字符串比较函数
    ①strcmp(s1,s2)：用来比较字符串s1和s2是否相等，如果相等，返回结果为1，否则返回0。
    ②strncmp(s1，s2，n)：用来比较两个字符串前 n 个字符是否相等，如果相等，返回1，否则返回0。
    ③strcmpi(s1,s2)：在忽略字母大小写前提下，比较字符串s1和s2是否相等，如果相等，返回1，否则返回0。
    ④strncmpi(s1，s2，n)：在忽略字符串大小写前提下，比较两个字符串前 n 个字符是否相等，如果相等，返回1，否则返回0。

2.7 字符串的查找与替换

  • findstr(s1，s2)：返回短字符串在长字符串中的开始位置。两个串的位置任意。
  • strrep(s1，s2，s3)：将字符串s1中的所有子字符串s2替换为字符串s3。

3.矩阵处理

3.1 特殊矩阵

分为通用性的特殊矩阵、用于专门学科的特殊矩阵。

3.1.1 通用的特殊矩阵

3.1.1.1 zeros函数

zeros函数：产生全 0 矩阵，即零矩阵。
调用格式：

  1. zeros(m)：产生 m * m 零矩阵。
  1. zeros(m,n)：产生 m * n 零矩阵。
  1. zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵，返回的是矩阵。
1
2
3
4
5
6
7
a=zeros(2,3)

zeros(size(reshape(a,3,2)))
ans = 
	0	0
	0	0
	0	0
3.1.1.2 ones函数

ones函数：产生全 1 矩阵，即幺矩阵。

1
2
3
4
5
a = ones(3)
a =
	1	1	1
	1	1	1
	1	1	1
3.1.1.3 eye函数

eye函数：产生对角线为 1 的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。

1
2
3
4
5
6
eye(4)

	1     0     0     0
    0     1     0     0
    0     0     1     0
    0     0     0     1
3.1.1.4 rand函数

rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵。
fix(a+(b-a+1)*x)：产生 [a,b] 区间上均匀分布的随机整数。

1
2
3
4
5
6
a = rand(4)
a = 
    0.3922    0.0318    0.8235    0.0344
    0.6555    0.2769    0.6948    0.4387
    0.1712    0.0462    0.3171    0.3816
    0.7060    0.0971    0.9502    0.7655

[10,99]：

1
2
3
4
5
6
a=fix(10+(99-a+1)*rand(4))

    30    72    22    32
    77    90    23    83
    32    96    33    31
    55    59    85    93
3.1.1.5 randn函数

randn函数：产生均值为 0 ，方差为 1 的标准正态分布随机矩阵。
u + σx ：得到均值为 u 、方差为 σ2 的随机数。

1
2
3
4
5
6
7
a=randn(5)

   -0.8236   -1.3337   -0.2620   -1.1564   -0.0200
   -1.5771    1.1275   -1.7502   -0.5336   -0.0348
    0.5080    0.3502   -0.2857   -2.0026   -0.7982
    0.2820   -0.2991   -0.8314    0.9642    1.0187
    0.0335    0.0229   -0.9792    0.5201   -0.1332
1
2
3
4
5
6
7
a=3+10*randn(5)

   -4.1453   -5.4793   -9.5712  -20.2987    1.6972
   16.5139   -8.2013   -5.6547  -11.4910    4.8369
    0.7523   28.2600    1.2347    6.3351   -1.7615
   -2.8903   19.5550   10.9142    6.9135   11.6202
    0.0625    6.0754  -10.3200    7.5168  -10.6169

3.1.2 专门学科的特殊矩阵

3.1.2.1 魔方矩阵

  • n 阶魔方阵由 1，2，3·····，n2共 n2 个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各 n 个元素之和都相等。

  • n 阶魔方阵每行每列元素的和为 （1+2+3+···+n2）/ n = （n+n3）/2。

如图：

magic函数：

1
2
3
4
5
6
7
m=magic(5)

    17    24     1     8    15
    23     5     7    14    16
     4     6    13    20    22
    10    12    19    21     3
    11    18    25     2     9
3.1.2.2 范德蒙矩阵

vander(v)函数 生成以向量 v 为基础的范德蒙矩阵。

如图：

1
2
3
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5
6
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8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
>> a=vander(1:3)

a =

     1     1     1
     4     2     1
     9     3     1

>> b=vander(1:5)

b =

     1     1     1     1     1
    16     8     4     2     1
    81    27     9     3     1
   256    64    16     4     1
   625   125    25     5     1
3.1.2.3 希尔伯特矩阵

hlib(n)函数

如图：

由图可知：希尔伯特矩阵的元素为 H(i,j)=1/(i+j+1) 。

1
2
3
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5
6
7
8
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11
12
13
14
15
16
17
18
>> hilb(4)

ans =

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500
    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000
    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667
    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429

>> format rat % 以有理数格式输出
>> hilb(4)

ans =

       1              1/2            1/3            1/4     
       1/2            1/3            1/4            1/5     
       1/3            1/4            1/5            1/6     
       1/4            1/5            1/6            1/7
3.1.2.4 伴随矩阵

compan(p)函数：，其中 p 是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂系数排在后。

如图：

示例：生成多项式 x3 - 2x2 - 5x+6 的伴随矩阵。

1
2
3
4
5
6
7
8
>> p=[1,-2,-5,6];
>> a=compan(p)

a =

       2              5             -6       
       1              0              0       
       0              1              0
3.1.2.5 帕斯卡矩阵

pascal(n)函数：生成一个 n 阶帕斯卡矩阵。
帕斯卡矩阵的第一行元素和第一列元素都为 1 ，其余位置的元素是该元素的左边元素与上面元素相加，即 p(i,j)=p(i,j-1)+p(i-1,j)，且 p(i,1)=1,p(1,j)=1。

1
2
3
4
5
6
7
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9
>> pascal(5)

ans =

       1              1              1              1              1       
       1              2              3              4              5       
       1              3              6             10             15       
       1              4             10             20             35       
       1              5             15             35             70

3.2 矩阵变换

3.2.1 对角阵

  1. 对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。
  1. 数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。
  1. 单位矩阵：对角线上的元素都为 1 的对角矩阵。
3.2.1.1 提取矩阵的对角线元素
  1. diag(a)：提取矩阵 a 主对角线元素，产生一个列向量。
  1. diag(a,k)：提取矩阵 a 第 k 条对角线的元素，产生一个列向量。主对角线为第 0 条对角线，向上走为第 1 条、···、第 n 条对角线；向下走为 第 -1 条、····、第 -n 条对角线。

示例：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
a =

     1     2     3     4     5
     5     6     7     8     9
     4     5     6     7     8

>> diag(a)

ans =

     1
     6
     6

>> diag(a,1)

ans =

     2
     7
     7

>> diag(a,0)

ans =

     1
     6
     6
3.2.1.2 构造对角矩阵
  1. diag(v)：以向量 v 为主对角线元素，产生对角矩阵。
  1. diag(v,k)：以向量 v 为第 k 条对角线元素，产生对角矩阵。

示例1：

1
2
3
4
5
6
7
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9
10
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12
13
14
15
>> a=[1,2,3,4,5]

a =

     1     2     3     4     5

>> diag(a)

ans =

     1     0     0     0     0
     0     2     0     0     0
     0     0     3     0     0
     0     0     0     4     0
     0     0     0     0     5

示例2：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
>> a=(1:5)

a =

     1     2     3     4     5

>> diag(a,1)

ans =

     0     1     0     0     0     0
     0     0     2     0     0     0
     0     0     0     3     0     0
     0     0     0     0     4     0
     0     0     0     0     0     5
     0     0     0     0     0     0

3.2.2 三角阵

3.2.2.1 上三角阵

矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵。

  1. triu(a)：提取矩阵 a 的主对角线及以上的元素。
  1. triu(a,k)：提取矩阵 a 的第 k 条对角线及以上的元素。

示例：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
>> a=ones(5)

a =

     1     1     1     1     1
     1     1     1     1     1
     1     1     1     1     1
     1     1     1     1     1
     1     1     1     1     1

>> triu(a)

ans =

     1     1     1     1     1
     0     1     1     1     1
     0     0     1     1     1
     0     0     0     1     1
     0     0     0     0     1

>> triu(a,-1)

ans =

     1     1     1     1     1
     1     1     1     1     1
     0     1     1     1     1
     0     0     1     1     1
     0     0     0     1     1
3.2.2.2 下三角阵

对角线以上的元素全为零的矩阵。提取矩阵 a 的下三角矩阵的函数是tril，用法与 triu函数完全相同。

3.2.3 矩阵的转置

  • 转置运算符是小数点后面接单引号 .'。

  • 共轭转置，其运算符的单引号 '，它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。如果是实数则一样。

示例：复数

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
>> a=[1,3;3+4i,1-2i]

a =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i
   3.0000 + 4.0000i   1.0000 - 2.0000i

>> a.'

ans =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 4.0000i
   3.0000 + 0.0000i   1.0000 - 2.0000i

>> a'

ans =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 - 4.0000i
   3.0000 + 0.0000i   1.0000 + 2.0000i

示例：实数

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
>> a=[1,2;3,4;5,6]

a =

     1     2
     3     4
     5     6

>> a.'

ans =

     1     3     5
     2     4     6

>> a'

ans =

     1     3     5
     2     4     6

3.2.4 矩阵的旋转

rot90(a,k)：将矩阵 a 逆时针方向旋转 90°的 k 倍，当 k 为 1 时可省略。

示例：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
>> a=[1:5;5:9;9:13]

a =

     1     2     3     4     5
     5     6     7     8     9
     9    10    11    12    13

>> rot90(a)

ans =

     5     9    13
     4     8    12
     3     7    11
     2     6    10
     1     5     9

>> rot90(a,2)

ans =

    13    12    11    10     9
     9     8     7     6     5
     5     4     3     2     1

3.2.5 矩阵的翻转

  1. fliplr(a)：对矩阵 a 实施左右翻转。
  1. flipud(a)：对矩阵 a 实施上下翻转。

示例：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
>> a=[1:4;5:8;9:12]

a =

     1     2     3     4
     5     6     7     8
     9    10    11    12

>> fliplr(a)

ans =

     4     3     2     1
     8     7     6     5
    12    11    10     9

>> flipud(a)

ans =

     9    10    11    12
     5     6     7     8
     1     2     3     4

3.2.6 矩阵求逆

inv(a)：求方阵 a 的逆矩阵。

3.3 矩阵求值

3.3.1 矩阵的行列式值

det(a)：求方阵 a 所对应的行列式的值。

示例：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
>> a=[1:3;4:6;7:9]

a =

       1              2              3       
       4              5              6       
       7              8              9       

>> format rat
>> det(a)

ans =

      -1/1050839913053116

3.3.2 矩阵的秩

矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。
rank(a)：求矩阵 a 的秩。

示例：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
>> a=[1:4;5:8;9:12]

a =

       1              2              3              4       
       5              6              7              8       
       9             10             11             12       

>> rank(a)

ans =

       2

3.3.3 矩阵的迹

矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。
trace(a)：求矩阵 a 的迹。

示例：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
>> a=[1:4;5:8;9:12;13:16]

a =

       1              2              3              4       
       5              6              7              8       
       9             10             11             12       
      13             14             15             16       

>> trace(a)

ans =

      34

3.3.4 向量和矩阵的范数

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

3.3.4.1 向量的 3 种常用范数
  1. 向量1-范数：向量元素的绝对值之和。

norm(v,1)：计算向量 v 的1-范数。

  1. 向量2-范数：向量元素平方和的平方根。

norm(v)或norm(v,2)：计算向量 v 的 2-范数。

  1. 向量∞-范数：所有向量元素绝对值中的最大值。

norm(v,inf)：计算向量 v 的 ∞-范数。

3.3.4.2 矩阵的范数
  1. 矩阵 a 的 1-范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值。
  1. 矩阵 a 的 2-范数：a’a 矩阵的最大特征值的平方根。
  1. 矩阵 a 的 ∞-范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值。

矩阵求3种范数的函数与向量的函数完全相同。

3.3.5 矩阵的条件数

  • 矩阵 a 的条件数等于 a 的范数与 a 的逆矩阵的范数的乘积。

  • 条件数是大于1的，越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。

  1. cond(a,1)：计算 a 的 1-范数下的条件数。
  1. cond(a)或cond(a,2)：计算 a 的 2-范数下的条件数。
  1. cond(a,inf)：计算 a 的 ∞-范数下的条件数。

3.4 矩阵的特征值与特征向量

E=eig(a)：求矩阵 a 的全部特征值，构成向量 E 。

[X,D]=eig(a)：求矩阵 a 的全部特征值，构成对角阵 D ，并产生矩阵 X，X 各列是相应的特征向量。

Matlab 提供了一个 eigshow函数，可以演示单位圆上的向量 X 和 Ax 之间的关系。

3.5 稀疏矩阵

矩阵有两种存储方式：完全存储方式、稀疏存储方式。
稀疏存储方式只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。但采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。
示例：

1
2
3
4
5
6
7
>> a=[1,0,0,0;0,5,0,0;2,0,0,7]

a =

     1     0     0     0
     0     5     0     0
     2     0     0     7

a 矩阵的稀疏存储方式为：

1
2
3
4
(1,1) , 1
(3,1) , 2
(2,2) , 5
(3,4) , 7

3.5.1 完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

A=sparse(s)：将矩阵 S 转化为稀疏存储方式的矩阵 A 。
S=full(a)：将矩阵 a 转化为完全存储方式的矩阵 S 。

3.5.2 直接建立稀疏存储矩阵

sparse(m,n)：生成一个 m * n 的所有元素都是零的稀疏矩阵。
sparse(u,v,s)：其中 u、v、s 是 3 个等长的向量。s 是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i)、v(i)分别是 s(i) 的行和列下标。

使用 spconvert函数 直接建立稀疏存储矩阵，其调用格式为：B = spconvert(A)
A 为一个 m * 3 或者 m * 4 的矩阵，其每行表示一个非零元素，m 是非零元素的个数。

  • A()：第 i 个非零元素所在的行。

  • A()：第 i 个非零元素所在的列。

  • A()：第 i 个非零元素值的实部。

  • A()：第 i 个非零元素值的虚部。

若矩阵的全部元素都是实数，则无须第 4 列。

3.5.3 带状稀疏矩阵的稀疏存储

稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。
带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

[B,d]=spdiags(A)：从带状稀疏矩阵 A 中提取全部非零对角线元素赋给矩阵 B 及其这些非零对角线的位置向量 d 。
A=spdiags(B,d,m,n)：产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵 A ，其中m、n 为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵 B 的第 i 列即为原带状稀疏矩阵的第 i 条非零对角线，向量 d 为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置。

3.5.4 单位矩阵的稀疏存储

speye(m,n)：返回一个 m * n 的稀疏存储单位矩阵。
示例：

1
2
3
4
5
6
7
>> speye(3)

ans =

   (1,1)        1
   (2,2)        1
   (3,3)        1
数学建模

本文作者: 墨水记忆
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